★ 패턴을 관찰하고, 수학적 언어로 표현
★ 세상에서 가장 기발한 수학 문제집
★ 비(ratio)의 근본 개념을 확실하게 설명
★ 비율, 비례식 응용문제에 대한 획기적 풀이방법 소개


비(ratio)는 둘 또는 그 이상의 크기(양) 관계를 상대적으로 나타내는 것으로, "a는 b의 몇 배이다."를 알아내고자 하는 것입니다. 비의 개념을 가장 잘 표현한 책이 유클리드 원론입니다. 유클리드는 선분의 길이를 활용하여 비의 특성을 설명하고 있습니다. <<수학감각 비와 비례식>>편에서는 <<유클리드 원론 5권>>에 수록된 비에 대한 몇몇 개념을 요즘 학생들도 이해할 수 있도록 자세하게 제시했습니다.
초등 교과서에서 비를 처음 소개할 때 두 수를 "나눗셈으로 비교해 보시오."라는 표현이 나오는 데, 이 말 자체가 의미가 모호한 말이라서 아이들이 이해하기 힘들고, 너무 많은 개념을 단 몇 페이지에 소개하기에 아이들에게는 버겁게 느껴질 수밖에 없습니다.

<<수학감각 비와 비례식>>에서는 비(ratio)의 뜻과 기준량, 비교량의 의미, 비의 표현에 대해서 아주 자세하게 다루고 있습니다. 이를 통해 비를 처음 배우는 학생들에게 흥미를 유발하고 부담을 줄여 줄 것으로 기대하고 있습니다.

초등 교과서에 "비교하는 양을 기준량으로 나눈 값을 비의 값 또는 비율이라고 합니다."라는 정의는 우리나라에서나 있는 아주 독특한 정의인데, 개인적으로는 약간 문제가 되는 설명으로 여기고 있습니다. 더 나아가 "150 : 200을 비율로 나타내면 150/200 또는 0.75입니다."라고 하여 분수의 비의 개념을 혼동스럽게 하기에, <<수학감각>>에서는 분수와 비의 차이, 표현방식, 읽는 방법 등을 확실하게 정리했습니다.
비와 관련된 문제 해결을 위해서는 비례식의 성질을 활용해야 합니다. 비례식의 성질을 여러 관점에서 다루었고, 방적식에 대한 이해 없이도 길이의 비를 통해 자연스럽게 미지수 x를 구할 수 있도록 하였습니다. 중요하지만 아이들 입장에서는 다소 어려울 수도 있는 개념이어서 많은 그림을 함께 제시하였습니다. 설명을 읽고, 문제를 풀다 보면 자연스럽게 수학적 감각을 익힐 수 있을 것입니다.
기준량을 자유자재로 다룰 수 있도록 과정을 설계하였기에 단가, 퍼센트 문제를 쉽게 인식할 것입니다. 마지막으로 닮은비와 관련된 개념들을 소상히 나누어 자세히 소개했습니다. 이를 통해 비와 비례식을 통해 해결하려는 문제가 무엇인지 조금이나마 경험할 수 있을 것이고, 중학교에 올라가서 삼각비를 어려워하지 않을 것이라 생각합니다.

<<수학감각 비와 비례>>에서 새로운 시도를 했습니다. 3 : 2를 읽을 때 3 대 2라고 읽는 데.. "대"의 의미를 명확하게 설명한... 아마도 최초의 책이 아닐까 합니다. "대"라는 말을 어떻게 설명하면 좋을까를 놓고, 산책하면서 묵상하는 중에 "크고 작은 것은 대어봐야 한다"라는 속담이 떠올랐고, 그것에 영감을 얻어서 물건을 기준에 대어 보는 행위로 표현했습니다. 더 나아가 기준은 움직이지 않으며, 비교하고자 하는 것이 움직여야 한다는 운동으로 설명했습니다. 그 결과 비교량과 기준량을 명확하게 인식할 수 있게 되었습니다. 이 부분만 해도 꽤나 만족스러운 설명이었습니다. 왜인고 하니.. 대부분의 아이들이 기준량과 비교량을 구별하기 힘들어하는데.. <<수학감각>>을 푼 아이들은 아마도 증가율, 할인율, 닮은비, 속력 등에서 기준량을 무엇으로 잡아야 하는지를 쉽게 알 수 있을 것입니다. 또한 비(ratio)를 단순 수(number)로 표현하지 않고, 크기(양)의 관계로 나타내려고 무척이나 고민했습니다. 주로는 유클리드 <<원론>>에서 제시된 비(ratio)의 느낌을 살려보려고 했습니다. 이게 고대 그리스 수학이 추구하던 방식을 따랐다는 것을 아는 사람도 없겠지만.. 저 스스로는 무척이나 만족하고 있습니다.

<<수학감각 비와 비례식II>>에서는 디오판토스의 Arithmetica를 일부 소개했습니다. 물론 방정식을 활용하지 않고, 비와 비율을 활용해서 문제를 해석하고, 풀 수 있도록 설명했습니다. 설명은 데카르트의 모범을 따라 선분을 최대한 활용했습니다. 크기(양)의 관계를 가장 간단하고 명료하게 표현할 수 있는 것이 선(line)입니다. 데카르트는 선(line)을 활용해 수직선(number line)는 물론 좌표 체계, 해석학을 고안했는데.. 그 단순하고, 심오함은 참으로 놀랍습니다. <<비와 비례식II>>에서는 선(line)을 자유자재로 활용할 수 있도록 다양한 문제들을 제시했습니다. 복잡한 문제를 단순, 명료하게 해석할 수 있도록 도와줄 것입니다. 비와 비율 관련 난이도 높은 문제를 설명하는 데 있어, 기존에 사용하던 흔한 방법, 혼란을 가중시켜왔던 방법이 아닌, 일관성을 유지하면서도 파워풀한 방법들을 소개했습니다. 물론 기초적인 개념도 빠짐없이, 충분하게 연습할 수 있도록 신경을 썼습니다.

여러분의 기대에 부응할 수 있기를 간절히 바라고 있는데.. 두렵고, 떨리면서도.. 기대가 됩니다. 고전을 읽으면서 본질에 더 가까이 다가가려고 했기에 후회는 없습니다. 하고자 했던 것을 했으니까요. 번잡한 수학, 아이들을 괴롭히는 수학이 아니고, 아이들 스스로 깨달으면서, 수학의 기초를 튼튼히 쌓아갈 수 있도록 만든 교재입니다.

제1장. 비(ratio)란?
1. 비의 뜻
2. 비교량과 기준량
3. 비를 읽는 여러가지 방법
4. 개별과 전체 개수의 비
5. 길이의 비
6. 비를 간단하고 분명하게 표현하기
7. 비(ratio)의 크기 비교
8. 유비(analogy)

제2장. 비례식 기초
1. 비례식(Proportion)의 성질
2. 길이의 비와 비례식
3. 미지수 x (엑스)
4. 비례식의 성질을 이용한 x값 구하기
5. 닮은꼴
6. 퍼센트 (%)

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