논문 초록: 점의 크기에 대한 의구심

중학교 3학년 때 배우는 수학 ‘실수와 수직선의 개념 편’에 다음과 같은 내용이 나온다.

‘서로 다른 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재하지만 유리수만으로 수직선을 완전히 채우지 못한다. 유리수가 채우지 못한 수직선의 점은 무리수가 채운다. 서로 다른 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 존재한다. 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 하며 무리수는 실수 중에서 유리수가 아닌 수를 말한다. 임의의 실수는 수직선의 한 점에 대응되며 실수는 수직선을 빈틈없이 완전히 채운다.’

실수와 수직선에 관한 위 내용은 중학교 교과서에서 필수로 다루어지고 학생들은 관련 문제를 풀면서 개념을 자연스럽게 받아들인다. 그런데 실수와 수직선에 대한 내용을 잘 살펴보면 이것이 점과 선의 관계에 대한 것임을 알 수 있고, 둘 사이의 모순관계도 그대로 드러나 있음을 알 수 있다.

나는 이 사실을 학생 때 발견하지 못했다. 그리고 내가 수학을 가르치는 학생들에게서도 이 사실을 지적받지 못했다. 참 이상한 일이었다. 왜 그랬을까 이유를 찾아보니 이 단원이 대부분의 사실을 일방적으로 정의하듯이 진행되었기 때문이었다.

증명하는 것은 고작 √2가 수직선의 어느 위치에 있다고 하면서 다른 무리수도 수직선의 어딘가에 대응된다는 것뿐이다. 다른 사항은 당연히 그렇거나 그렇게 하기로 정한 것처럼 하고 넘어가 버린다. 그렇게 하기로 정했다는데 무슨 반발이 있을까? 그냥 외우고 외운 대로 답을 쓰는 수밖에...

수학이 절대불변의 진리체계라는 것은 빛바랜 관념이다. 오늘날의 수학은 정의와 약속으로 이루어진 시스템이라는 관념이 지배적이다. 지금 우리가 다루고 있는 ‘실수와 수직선’도 일종의 정의와 약속의 시스템이다. 나는 ‘실수와 수직선’의 약속 시스템에서 점과 선의 관계를 다시 분석하고 둘 사이의 모순을 해결하고자 시도하였다.

기하학을 배울 때 우리는 점의 크기가 0이라고 가정하고 문제를 푼다. 그런데 함수의 그래프를 배울 때는 점이 무수히 모이면 선이 된다는 사실을 자연스럽게 받아들인다. 점의 크기가 0이라면 그것이 아무리 많이 모여도 선이라는 공간을 채울 수 없다. 점이 모여 선이라는 공간을 채우려면 점의 길이가 조금이라도 존재해야 한다.

실수와 수직선의 약속시스템에는 기하학과 함수의 개념이 혼재되어 있다. 수직선도 하나의 직선이다. 수직선 위에 존재하는 점 하나의 크기가 자연스럽게 0으로 인식되는 것은 기하학의 입장이다. 그런데 유리수의 점들이 모여 선이라는 공간 일부를 채우고, 나머지 공간은 무리수의 점들이 채운다는 말은 점에 크기가 있다는 함수의 입장을 지지하는 것처럼 보인다.

혼란스럽다. 나는 점이라는 것의 정체가 무엇인지 알고 싶어졌다. 그리고 점의 길이가 있는 것인지 없는 것인지. 길이가 있다면 그 값이 얼마인지 정확히 알고 싶어졌다.

이 논문은 점의 크기를 정확히 알고 싶은 의도에서 출발했다. 점에 크기가 있다면 그 크기는 길이가 될 수도 있고, 넓이가 될 수도 있고, 부피가 될 수도 있다. 하지만 나는 점과 선의 관계를 중심으로 점의 크기를 알아볼 작정이기 때문에 점의 크기를 ‘점의 길이’로 한정하고 싶다.

이 논문의 첫 번째 과제는 실수와 수직선의 개념으로부터 점의 길이를 정확히 구하는 것이다.

두 번째 과제는 유리수 점만을 이어붙인 선의 길이와 무리수 점만을 이어붙인 선의 길이를 구하여 그 둘을 비교해 보는 것이다.

논의를 객관적으로 전개하기 위해서는 하나의 통일적 기준이 필요한데 본 논문에서 나는 실수와 수직선의 개념만을 중시하고 다른 것은 최대한 의심하는 방식을 택했다. 따라서 본 논문의 결과는 모두 실수와 수직선의 개념에서 연역적으로 도출된 정리들이다.

나는 이 논문을 중학생인 아들을 위해서 썼다. 따라서 이 논문은 이해하기가

논문 초록
저자 소개
목차
1. 실수와 수직선의 개념에 대하여
2. 점과 선의 관계식 구하기
3. 유리수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이 1
4. 실수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이
5. 수직선에 존재하는 유리수와 무리수 점의 개수 비교
6. 점의 길이는 얼마인가?
7. 유리수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이 2
8. 무리수 점들을 한 줄로 이어붙인 선의 길이
결론과 맺음말