위상수학은 공간의 기본적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야로, 연속적인 변형에 의해 불변하는 특성을 탐구합니다. 이 책은 고등학생들에게 대학 수준의 위상수학을 미리 접할 수 있는 기회를 제공합니다. 기초적인 개념부터 시작하여 점진적으로 심화된 주제로 나아가며, 각 장마다 풍부한 예시와 직관적인 설명을 통해 복잡한 개념들을 이해하기 쉽게 풀어냅니다. 위상공간, 연결성, 컴팩트성 등의 핵심 개념부터 호모토피, 호몰로지 이론까지 폭넓게 다루어 위상수학의 전체적인 지도를 제시합니다.

이 책은 단순히 이론만을 다루는 것이 아니라, 위상수학이 실제 세계에서 어떻게 응용되는지도 보여줍니다. 데이터 과학, 물리학, 생물학 등 다양한 분야에서 위상수학이 활용되는 사례를 소개하여 독자들에게 학문의 실용성과 중요성을 인식시킵니다. 특히 최신 연구 동향인 위상적 데이터 분석, 양자 위상학, 비가환 기하학 등의 주제를 다루어 현대 과학기술의 최전선에서 위상수학이 어떻게 기여하고 있는지 보여줍니다. 이를 통해 독자들은 위상수학이 단순한 추상적 이론이 아닌, 현대 과학의 핵심 도구임을 깨닫게 될 것입니다.

저자는 복잡한 수학적 개념을 설명할 때 직관적인 비유와 일상적인 예시를 활용하여 독자의 이해를 돕습니다. 예를 들어, 위상동형의 개념을 설명할 때 고무로 만든 도형의 변형을 예로 들거나, 호モ토피 이론을 설명할 때 산길의 경로 변경을 비유로 사용합니다. 또한 각 장의 끝에는 심화 학습을 위한 추가 문제와 프로젝트가 제시되어 있어, 독자들이 능동적으로 학습을 확장할 수 있도록 구성되어 있습니다. 이러한 접근 방식은 추상적인 개념을 구체화하고, 독자들이 위상수학의 아름다움과 깊이를 직접 체험할 수 있게 합니다.

이 책은 단순히 위상수학의 내용을 전달하는 데 그치지 않고, 수학적 사고의 발전 과정과 역사적 맥락도 함께 다룹니다. 주요 정리나 개념이 어떻게 발견되고 발전되어 왔는지, 그리고 그 과정에서 수학자들이 어떤 사고방식을 가졌는지를 소개합니다. 이를 통해 독자들은 위상수학을 단순한 지식의 집합이 아닌, 인류의 지적 탐구의 결과물로 이해하게 됩니다. 또한 미해결 문제와 현재 진행 중인 연구 주제들을 소개함으로써, 위상수학이 여전히 활발히 발전하고 있는 생동감 있는 학문임을 보여주고, 독자들에게 미래의 연구 가능성을 제시합니다.

1. 위상수학의 기초 개념
2. 거리공간과 metric
3. 위상공간의 기본 성질
4. 연결성과 경로연결성
5. 컴팩트성과 그 응용
6. 함수공간과 컴팩트-열린 위상
7. 위상다양체와 미분구조
8. 호모토피와 기본군
9. 호몰로지 이론 입문
10. 다양체의 방향성과 교차수
11. 벡터속과 특성류
12. 스펙트럼과 K-이론
13. 대수적 위상수학 입문
14. 매듭이론과 3차원 다양체
15. 위상적 그래프 이론
16. 위상군과 리군
17. 층과 층 코호몰로지
18. 특이점 이론 입문
19. 수학적 물리학의 위상적 측면
20. 위상적 데이터 분석
21. 비가환 기하학과 양자군
22. 동역학계의 위상적 측면
23. 프랙털 기하학과 자기유사성
24. 범주론적 위상수학
25. 저차원 위상수학
26. 위상수학의 미래 전망