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THE MATHEMATICAL THEORY
OF
RELATIVITY
BY
A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S.
PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL
PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1923

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CONTENTS
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHAPTER I
ELEMENTARY PRINCIPLES
SECTION PAGE
1. Indeterminateness of the space-time frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. The fundamental quadratic form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Measurement of intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Rectangular coordinates and time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. The Lorentz transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. The velocity of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7. Timelike and spacelike intervals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8. Immediate consciousness of time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9. The ¡°3 + 1 dimensional¡± world. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10. The FitzGerald contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
SECTION PAGE
11. Simultaneity at different places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12. Momentum and mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13. Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
14. Density and temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15. General transformations of coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
16. Fields of force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
17. The Principle of Equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
18. Retrospect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
CHAPTER II
THE TENSOR CALCULUS
19. Contravariant and covariant vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
20. The mathematical notion of a vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
21. The physical notion of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
22. The summation convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
23. Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
24. Inner multiplication and contraction. The quotient law . . . . . . . . 85
25. The fundamental tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
26. Associated tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
27. Christoffel¡¯s 3-index symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
28. Equations of a geodesic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
29. Covariant derivative of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
30. Covariant derivative of a tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
SECTION PAGE
31. Alternative discussion of the covariant derivative . . . . . . . . . . . . . . . 106
32. Surface-elements and Stokes¡¯s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
33. Significance of covariant differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
34. The Riemann-Christoffel tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
35. Miscellaneous formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
CHAPTER III
THE LAW OF GRAVITATION
36. The condition for flat space-time. Natural coordinates . . . . . . . . . 127
37. Einstein¡¯s law of gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
38. The gravitational field of an isolated particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
39. Planetary orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
40. The advance of perihelion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
41. The deflection of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
42. Displacement of the Fraunhofer lines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
43. Isotropic coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
44. Problem of two bodies?Motion of the moon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
45. Solution for a particle in a curved world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
46. Transition to continuous matter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
47. Experiment and deductive theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
CHAPTER IV
RELATIVITY MECHANICS
SECTION PAGE
48. The antisymmetrical tensor of the fourth rank . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
49. Element of volume. Tensor-density. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
50. The problem of the rotating disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
51. The divergence of a tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
52. The four identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
53. The material energy-tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
54. New derivation of Einstein¡¯s law of gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
55. The force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
56. Dynamics of a particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
57. Equality of gravitational and inertial mass. Gravitational waves 216
58. Lagrangian form of the gravitational equations. . . . . . . . . . . . . . . . . 222
59. Pseudo-energy-tensor of the gravitational field . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
60. Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
61. A property of invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
62. Alternative energy-tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
63. Gravitational flux from a particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
64. Retrospect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
CHAPTER V
CURVATURE OF SPACE AND TIME
SECTION PAGE
65. Curvature of a four-dimensional manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
66. Interpretation of Einstein¡¯s law of gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
67. Cylindrical and spherical space-time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
68. Elliptical space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
69. Law of gravitation for curved space-time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
70. Properties of de Sitter¡¯s spherical world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
71. Properties of Einstein¡¯s cylindrical world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
72. The problem of the homogeneous sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
CHAPTER VI
ELECTRICITY
73. The electromagnetic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
74. Electromagnetic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
75. The Lorentz transformation of electromagnetic force . . . . . . . . . . . 304
76. Mechanical effects of the electromagnetic field. . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
77. The electromagnetic energy-tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
78. The gravitational field of an electron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
79. Electromagnetic action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
80. Explanation of the mechanical force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
81. Electromagnetic volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
SECTION PAGE
82. Macroscopic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
CHAPTER VII
WORLD GEOMETRY
Part I. Weyl¡¯s Theory
83. Natural geometry and world geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
84. Non-integrability of length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
85. Transformation of gauge-systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
86. Gauge-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
87. The generalised Riemann-Christoffel tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
88. The in-invariants of a region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
89. The natural gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
90. Weyl¡¯s action-principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Part II. Generalised Theory
91. Parallel displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
92. Displacement round an infinitesimal circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
93. Introduction of a metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
94. Evaluation of the fundamental in-tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
95. The natural gauge of the world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
96. The principle of identification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
97. The bifurcation of geometry and electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . 379
SECTION PAGE
98. General relation-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
99. The tensor ?B
¥ì¥í¥ò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
100. Dynamical consequences of the general properties of world invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
101. The generalised volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
102. Numerical values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
103. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413